TÜMEVARIM
· Tümevarım Nedir?
’’Eğer çok sayıda A çeşitli şartlar altında gözlemlenmiş ise ve eğer gözlemlenen tüm A’lar istisnasız B özelliğine sahip ise, o zaman A’lar B özelliğine sahiptir.’’ (Tümevarım ilkesi)
Bu ilke tümevarımın bilim üzerine inşa edildiği temel ilkedir. Tümevarım’ı bu ilke ile açıklıyoruz.
Tümevarım bir ispat yöntemidir. Bu yöntemde asıl olan parçadan bütüne ulaşmaktır. Yani parça için geçerli olan kesinlikle bütün için de geçerlidir.
· Tarihsel Yaklaşım
19. yy’ın ikinci yarısının en büyük Fransız matematikçisi Henri Poincare (1854-1912)’in matematiğin temelleri ile ilgili makaleleri vardır. Matematiksel düşünmenin gerçek aracının matematiksel indüksiyon (Tümevarım) olduğunu söylemiş ve bu yöntemin sezgisel olarak daha basit bir seviyeye indirilemeyeceğini söylemiştir.
Tümevarım sürecinde sonuca aşağıdaki evrelerden geçilerek ulaşılır (Tümevarım evreleri).
1. Sorunun niteliğinin açıkça açıklanması.
2. Verilerin (bilgilerin) toplanması.
3. Toplanan verilerin (bilgilerin) dikkatle incelenmesi.
4. Genel-geçer bir sonucun doğru olduğunun düşünülmesi.
5. Sonucun bulunması (Genelleme yapılması).
· Matematiksel İndüksiyon Çeşitleri (Versiyonları)
Versiyon 1: 0Îx ve her n doğal sayısı için nÎx iken n+1Îx. Bundan dolayı her doğal sayı x’in elemanıdır.
Versiyon 2: Her n doğal sayısı ve bütün k<n ler için kÎx iken nÎx ise her doğal sayı x’in elemanıdır.
Versiyon 3: Her n³j için jÎx ve nÎx iken n+1Îx ise her n³j doğal sayısı x’in elemanıdır.
Prensip1 ve Prensip 2’nin benzer olduğu kolaylıkla görülür.(Dikkat edilmesi gereken, 0 N’deki prosedürlere sahip değildir. Bundan dolayı 0Îx için hipotez 2 bazı durumlarda sağlanır.) Prensip 1’den hareketle Prensip 3 sağlanır.
Doğal sayılar grubunun iyi sıralama ilkesinden yola çıkarak matematiksel indüksiyon prensiplerine bakalım. Her nÎN ve her k<n için kÎx iken nÎx. N-x¹Æ ve n, N-x’in en küçük elemanı olsun. Fakat n üzerindeki hipotezlerden her k<n için kÎx’tir. İndüksiyon hipotezlerden nÎx’tir. Bu yüzden n’nin tanımından çelişki elde edilir.
· Tümevarım İlkesinin İspatı İçin Gerekli Bazı Ön Bilgiler
Doğal Sayıların Bazı Alt Kümeleri:
Doğal Sayılar Kümesi, N={0,1,2,3,...,n,n+1,...}
Sayma Sayılar Kümesi, N={1,2,3,...,n,n+1,...}
Tek Doğal Sayılar Kümesi, T={1,3,5,...,2n-1,...}
Çift Doğal Sayılar Kümesi, Ç={2,4,6,...,2n,...}
Bir a doğal sayısı için, a ve a’dan büyük doğal sayıların kümesini Na ile gösterelim.
Na={ x: xÎN, x³a, aÎN } dir.
Na={ a,a+1,a+2,... } olur.
Örnek: N5= { 5,6,7,8,...}
· TÜMEVARIM YÖNTEMİ (2 hipotezden oluşur)
Teorem: aÎN ve DÌNa olmak üzere;
Hipotez 1. aÎD, Hipotez 2. kÎDÞ(k+1)ÎD ise D=Na olur. (Burada D, üzerinde çalıştığımız kümenin doğruluk kümesidir.)
İspat: D¹Na varsayalım (olmayana ergi) (T.M. 4. Evre). Bu durumda Na-D=D¢, D’¹Æ ve D’ÌNa olur. D’ÌNa ise, D’ kümesinin en küçük elemanı vardır. Bu elemana t diyelim. Bu durumda (t-1)ÏD’ ama (t-1)ÎNa’dır. Öyleyse (t-1)ÎD’dir. Çünkü başka bir ihtimal yoktur. T.M. 2. Hipotez gereğince [(t-1)+1]ÎD olmalı, yani tÎD olur. tÎD’ idi. tÎD ve tÎD’ bir çelişkidir. Yani varsayım yanlıştır. O halde D=Na’dır. Bu teoremde a=1 ise Na=N1=N olacağından D=N olur.
Örnek: 1’den n’ye kadar olan doğal sayıların toplamı;
1+2+...+n=n(n+1)/2 olduğundan tümevarım ile gösterelim. Bu örnekte N da çalıştığımız için Na=N dır. Yani 1. Hipotez sağlandı. n=1 için; 1=1(1+1)/2=1, n=2 için; 1+2=2(2+1)/2=3.... Bu şekilde k’ya gittiğimizde 1+k+...+k=k(k+1)/2 olduğunu varsayalım. (T.M. 4. Evre) yani kÎD sağlandı. Hipotez 2 gereğince k+1ÎD olmalı.
O halde 1+2+...+k+k+1=k(k+1)/2+k+1 olur.
Eşitliğin sağ tarafı k(k+1)+2(k+1)/2=(k+1)(k+2)/2 olur. Yani;
1+2+...+k+k+1=(k+1)(k+2)/2 olur.
1+2+...+k=k(k+1)/2 eşitliğinin sağ tarafında k yerine k+1 yazdığımızda; 1+2+...+k+1=(k+1)(k+1+1)/2=(k+1)(k+2)/2 olur. Yani hipotez 2 de sağlanır. Yani D=N olur. Yani hipotez doğrudur.
