zeka
 
  ANASAYFA
  => Tüme varım
  => Sorular
  => MATEMATİK NEDİR
  => MATEMATİĞİN TARİHİ
  => NEDEN MATEMATİK
  => ÜNLÜ KURAMLAR
  => LİNEER DONUŞUMLER
  PRO-ZEKALAR
  PEYGAMBER EFENDİMİZİN HAYATI
  Ziyaretçi defteri
  GAZETELER 891
  DİL VE ANLATIM
  UYDU
  ANKETLER
  bizeözel
  KÜÇÜK GOOGLE
  top
  ÖNEMLİ KİŞİLERİN HAYATLARI
  MATEMATİK DERSİ
  Felsefe
  İletişim
  GAZETELER
  Galeri
  Mutlu Olmanın Yolları
  ALMANCA
  ZEKANIZI ÖLÇELİM
  MESLEKLER
LİNEER DONUŞUMLER

LİNEER DÖNÜŞÜMLER

 

Tanım: V ve W bir F cismi üzerinde iki vektör uzayı olsun.

Her a,b  V ve c  F için;

T: V à W dönüşümü

T(0V)=0W  ve  T (ca+b) = cT(a) + T(b) eşitliğini sağlıyorsa T’ye V’den W’ya bir lineer dönüşüm denir.

 

Başka bir deyişle; lineer dönüşüm özelliklerini şöyle de verebiliriz...

 

  • Her a,b  V için T(a+b) = T(a) + T(b)
  • Her c  F ve a  V için T(ca) =cT(a) dır...

 

Lineer dönüşümlerle ilgili bir tane örnek verelim:

 

Örnek:   T: IR3 à IR2

              (x1, x2, x3) à (x1+x2 , 2x2 – x3)   T dönüşümünün lineer dönüşüm olduğunu gösterelim:

 

T (0,0,0) = (0+0, 2.0 – 0) = (0,0) = 0IR2

 

i) Her (x1, x2, x3) , (y1, y2, y3) Є IR3  için T ((x1, x2, x3) + (y1, y2, y3)) = T (x1, x2, x3) + T (y1, y2, y3)   ?

 

è T ((x1, x2, x3) + (y1, y2, y3)) = T ((x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3))

   

    = (x1 + y1 + x2 + y2 , 2(x2 + y2) – (x3 + y3))

 

    = ((x1 + x2) + (y1 + y2) , 2x2 – x3 + 2y2 - y3)

 

    = (x1 + x2 , 2x2 – x3) + (y1 + y2 , 2y2 - y3)

 

    = T (x1, x2, x3) + T (y1, y2, y3)

 

ii) Her v = (x,y,z) Є IR3  için ve Her k Є IR  için  T(kv) = kT(v)   ?

 

è T(kv) = T(k(x,y,z)) = T(kx, ky, kz)

 

    = (kx + ky , 2ky – kz) = (k(x + y) , k(2y – z)) = k(x + y , 2y – z) = k T( x,y,z) = kT(v)

 

ü     i ve ii koşulları sağlandığından T: IR3 à IR2  dönüşümü bir lineer dönüşümdür...

 

Bir örnek daha verecek olursak T: IR3 à IR2   (x1, x2, x3) à (x1 - 3 , 2x2 +1) dönüşümü lineer dönüşüm değildir. Çünkü T(0,0,0) = (-3,1)  0IR2

 

Lineer Dönüşümlerin Çekirdeği ve Görüntüsü

 

Tanım: T: V à W bir lineer dönüşüm olsun.

ImT ={w  W | T(v) = w  her v Є V} kümesine T’nin görüntü kümesi denir...

KerT ={v V | T(v) = 0w} kümesine de T’nin çekirdeği denir.

 

Teorem: KerT’nin V’nin bir altuzayı olduğunu gösteriniz...

 

T(0) = 0  è 0 eleman Kert ≠ 0 dır.

v1, v2  KerT ve c F için cv1 + v2 KerT

v1, v2  KerT è T(v1) = 0 ve T(v2) = 0

T(cv1 + v2) = cT(v1) + T(v2) = c.0 + 0 = 0

 

è cv1 + v2  KerT

 

Teorem: V sonlu boyutlu bir vektör uzayı ve T: V à U lineer dönüşüm olsun. O zaman

 

dimV = dim (KerT) + dim (ImT)

boyV = boy (KerT) + boy (ImT)

 

Örnek: T: IR3 à IR [x]

            (a,b,c) à (a - b) + (b - c) x + (c – a) x2

 

Buna göre KerT ve ImT’nin bir baz ve boyutunu bulunuz.

 

KerT = { (a,b,c)  |  T (a,b,c) = 0 + 0x + 0x2 = 0 )

 

T(a,b,c) = (a - b) + (b - c) x + (c – a) x2 = (0 + 0x + 0x2)

 

a-b = 0 (1)   ,   b – c = 0 (2)   ,   c – a = 0 (3)

 

(1) ve (3) ü toplayalım.  c – b =  0   (4)  ,   a – b = 0   (5)   ,  b – c = 0 (6)

(5) ve (6) yı toplayalım.  a – b = 0  ,  b – c = 0  ,  0 = 0

 

dim KerT = 3 bilinmeyen – 2 denklem = 1

 

c = 1 olsun è  a = 1  ,  b = 1  è ßKerT = { (1,1,1) }

 

dimV = dim KerT + dim ImT

3        =  1 + 2

 

è dim ImT = 2

 

KerT = { (a,b,c) Є IR3  |  T(a,b,c) = 0 } = { (a,a,a)  |  a Є IR} = { (x,y,z)  |  x=y=z }

 

Şimdi ImT için dim ImT = 2 bulmuştuk.

 

E IR3  = {e1 , e2 , e3} gererse T(e1), T(e2), T(e3)  ImT’yi gerer.

 

T(1,0,0) = 1 + 0x + (-1)x2

T(0,1,0) = -1 + 1x + 0x2

T(0,0,1) = 0 + (-1)x + 1x2

 

 

1          0          -1                    1          0          -1                    1          0          -1

-1        1          0         è        0          1          -1        è        0          1          -1

0          -1        1                     0          -1        1                     0          0          0

 

è Sıfırdan farklı satır sayısı dim ImT = 2

     ßImT = { a1 = 1 + 0x - x2  ,  a2 = 0 + x - x2 }

 

Her p(x)  ImT = { T(v)  |  v  IR3 }

 

(u0 + u1x + u2x2)  ,  u0 = a – b,   u1 = b – c,   u2 = c – a

 

 

1          0          0          u0                     1          -1        0          u0                       1        -1        0          u0

0          1          -1        u1         è        0          1          -1        u1           è        0        1          -1        u1

-1        0          1          u2                     0          -1        1          u0 + u2               0        0          0          u0+u1+u2

 

è u0+u1+u2 = 0    ImT = { (u0 + u1x + u2x2)  |  u0+u1+u2 = 0 , u0, u1, u2  IR) }   

 

Tersinir Lineer Dönüşümler

 

Örnek: T: IR3 à IR3

(x,y,z) à (2x , x – y , x + y + z) dönüşümünün tersini olup olmadığını araştırınız. Tersinir ise T-1 = ?

 

T’nin tersinir olabilmesi için 1-1 ve örten olması gerekir.

 

T, 1-1 ise KerT = {0} olmalı.

KerT = { (x,y,z) Є IR3  |  T(x,y,z) = (0,0,0) }

 

è T(x,y,z) = (2x, x-y, x+y+z) = (0,0,0)

           

2x=0                           x = 0

x – y = 0                     y = 0   è v = (x,y,z) = (0,0,0)                      è  T , 1-1‘dir.

x + y + z = 0              z = 0       KerT = (0IR3 )

 

dim IR3 = dim ImT + dim KerT         è  3 = 3 + 0  è  dim ImT = 3   

ImT ≤  IR3  (3 ≤ 3) è ImT= IR3 è T(IR3) = IR3  è örten

 

è T tersinir...

 

T(x,y,z) = (a,b,c) olsun.                                              T-1 (a,b,c) = T-1 ( T (x,y,z) )

                                  

(2x , x – y , x + y + z) = (a,b,c)                                T-1 (a,b,c) = (x,y,z)

 

è x = a/2  , y = a/2 – b  ,  z = c – a + b                  T-1 (a,b,c) = (a/2 , a/2 – b , c – a + b)          

 

 

Dual Uzay

 

Tanım: V(F) ve F(F) iki vektör uzayı olsun. V à F uzayına bütün lineer dönüşümlerin kümesi F üzerinde bir vektör uzayıdır. Bu uzaya V’nin dual uzayı denir. Ve genelde V* ile gösterilir...

 

Bu uzayın elemanlarına V’de lineer formlar ya da lineer fonksiyoneller denir.

 

Tanım: V(F) < bir vektör uzayı, ß = {v1 , v2 , .... , vn }   V’nin bir bazı olsun. O zaman V* dual uzay V ile aynı boyuttadır.

 

Böylece ß* = { v1*, v2*, .... , vn*} = {f1 , f2 , ... , fn} bazı vardır. ß* bazına ß’nin dual bazı denir.

 

Herhangi bir f  V* lineer formu;

 

f = f(v1) v1* + .... + f(vn) vn*  ile

 

ve herbir v  V vektörü;

V = V1* (V) V1 + ... + Vn* (V) Vn şeklinde ifade edilebilir...

 

Örnek: V = (IR3:IR) vektör uzayıının bir bazı ß = { v1 = (1,-1,3) , v2 = (0,1,-1) , v3 = (0,3,-2) } olsun.

ß bazına dual olan ß* dual bazını bulunuz...

 

ß* = {f1 , f2 , f3}

 

fi : IR3 à IR

 

(x,y,z) à a1x + a2y + a3z

f1 = a1x + a2y + a3z  olsun...

 

f1 (v1) = 1  è  f1 (1,-1,3) = a1 - a2 + 3a3 = 1

f1 (v2) = 0  è  f1 (0,1,-1) = a2 - a3 = 0

f1 (v3) = 0  è  f1 (0,3,-2) = 3a2 - 2a3 = 0

 

 

1          -1        3          1                      1          -1        3          1

0          1          -1        0          è        0          1          -1        0          è  a3 = 0 , a2= 0 , a1= 1

0          3          -2        0                      0          0          1          0

 

è f1 (x,y,z) = x

 

f2 = b1x + b2y + b3z  olsun...

 

f2 (v1) = 0  è  f2 (1,-1,3) = b1 - b2 + 3b3 = 1

f2 (v2) = 1  è  f2 (0,1,-1) = b2 - b3 = 0

f2 (v3) = 0  è  f2 (0,3,-2) = 3b2 – 2b3 = 0

 

 

1          -1        3          0                      1          -1        3          0

0          1          -1        1          è        0          1          -1        1          è  b3 = -3 , b2= -2 , b1= 7

0          3          -2        0                      0          0          1          -3

 

è f2 (x,y,z) = 7x – 2y – 3z

 

f3 = c1x + c2y + c3z  olsun...

 

f3 (v1) = 0  è  f3 (1,-1,3) = c1 - c2 + 3c3 = 0

f3 (v2) = 0  è  f3 (0,1,-1) = c2 - c3 = 0

f3 (v3) = 1  è  f3 (0,3,-2) = 3c2 – 2c3 = 1

 

 

1          -1        3          0                      1          -1        3          0

0          1          -1        0          è        0          1          -1        0          è  c3 = 1 , c2= 1 , c1= -2

0          3          -2        1                      0          0          1          1

 

è f3 (x,y,z) = - 2x + y + z

 

è ß* = {f1 , f2 , f3} = { x , 7x – 2y – 3z , - 2x + y + z }

 

 

 

 

Örnek: V: (IR3:IR) vektör uzayının dual uzay V*ın

           

            ß*=    f1(x,y,z) = x + y + z     bazının duali olduğu V’nin ß = {v1, v2, v3} bulunuz...

                      f2(x,y,z) = y - z

                      f2(x,y,z) = z

 

 

v1 = (x1, y1, z1)

 

 

f1 (v1) = x1 + y1 + z1 = 1        z1 = 0  ,  y1 = 0  ,  x1 = 1  è  v1 = (1,0,0)

f2 (v1) = y1 - z1 = 0

f3 (v1) = z1 = 0

 

v2 = (x2, y2, z2)

 

 

f1 (v2) = x2 + y2 + z2 = 0        z2 = 0  ,  y2 = 1  ,  x2 = -1  è  v2 = (-1,1,0)

f2 (v2) = y2 – z2 = 1

f3 (v2) = z2 = 0

 

 

 

v3 = (x3, y3, z3)

 

 

f1 (v2) = x3 + y3 + z3 = 0        z3 = 1  ,  y3 = 1  ,  x3 = -2  è  v3 = (-2,1,1)

f2 (v2) = y3 – z3 = 0

f3 (v2) = z3 = 1

 

 

è  ß = {v1, v2, v3}  = { (1,0,0) , (-1,1,0) , (-2,1,1) }

 

 

Lineer Dönüşümlerin Matris Gösterilimi

 

Tanım: V(F) < ∞ ve W(F) < ∞ vektör uzayları V’nin bir bazı B = {V1, ..., Vn} ve W’nin bir bazı

C = { W1, ..., Wn } olsun.

 

Her bir T: V à W lineer dönüşümü için ve her v  V için

 

[T(v)]c = A [V]B olacak şekilde bir tek A matrisi vardır. Bu A matrisine T’nin B ve C baz çiftine göre matrisi denir ve

 

[B]BC = C[T]B ile gösterilir...

 

 

Örnek: T: IR3 à IR3

T(x,y,z) = (x, 0, y-z) ile tanımlansın. (IR3 : IR) vektör uzayının E standart ve f : { f1 = (1,1,0) , f2 = (0,1,0) , f3 = (0,-1,1) bazları verildiğine göre, [T]FE matrisini bulunuz...

 

T (f1) = T (1,1,0) = (1,0,1) = 1e1 + 0e2 + 1e3

T (f2) = T (0,1,0) = (0,0,1) = 0e1 + 0e2 + 1e3

T (f3) = T (0,-1,1) = (0,0,-2) = 0e1 + 0e2 + (-2)e3

 

[T]FE =    1         0          1       T                     1          0          0

               0          0          1                   =          0          0          0

               0          0          -2                             1          1          -2

 

 

 
 
   
Bugün 51 ziyaretçi (75 klik) kişi burdaydı!
Bu web sitesi ücretsiz olarak Bedava-Sitem.com ile oluşturulmuştur. Siz de kendi web sitenizi kurmak ister misiniz?
Ücretsiz kaydol