LİNEER DÖNÜŞÜMLER
Tanım: V ve W bir F cismi üzerinde iki vektör uzayı olsun.
Her a,b V ve c F için;
T: V à W dönüşümü
T(0V)=0W ve T (ca+b) = cT(a) + T(b) eşitliğini sağlıyorsa T’ye V’den W’ya bir lineer dönüşüm denir.
Başka bir deyişle; lineer dönüşüm özelliklerini şöyle de verebiliriz...
- Her a,b V için T(a+b) = T(a) + T(b)
- Her c F ve a V için T(ca) =cT(a) dır...
Lineer dönüşümlerle ilgili bir tane örnek verelim:
Örnek: T: IR3 à IR2
(x1, x2, x3) à (x1+x2 , 2x2 – x3) T dönüşümünün lineer dönüşüm olduğunu gösterelim:
T (0,0,0) = (0+0, 2.0 – 0) = (0,0) = 0IR2
i) Her (x1, x2, x3) , (y1, y2, y3) Є IR3 için T ((x1, x2, x3) + (y1, y2, y3)) = T (x1, x2, x3) + T (y1, y2, y3) ?
è T ((x1, x2, x3) + (y1, y2, y3)) = T ((x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3))
= (x1 + y1 + x2 + y2 , 2(x2 + y2) – (x3 + y3))
= ((x1 + x2) + (y1 + y2) , 2x2 – x3 + 2y2 - y3)
= (x1 + x2 , 2x2 – x3) + (y1 + y2 , 2y2 - y3)
= T (x1, x2, x3) + T (y1, y2, y3)
ii) Her v = (x,y,z) Є IR3 için ve Her k Є IR için T(kv) = kT(v) ?
è T(kv) = T(k(x,y,z)) = T(kx, ky, kz)
= (kx + ky , 2ky – kz) = (k(x + y) , k(2y – z)) = k(x + y , 2y – z) = k T( x,y,z) = kT(v)
ü i ve ii koşulları sağlandığından T: IR3 à IR2 dönüşümü bir lineer dönüşümdür...
Bir örnek daha verecek olursak T: IR3 à IR2 (x1, x2, x3) à (x1 - 3 , 2x2 +1) dönüşümü lineer dönüşüm değildir. Çünkü T(0,0,0) = (-3,1) 0IR2
Lineer Dönüşümlerin Çekirdeği ve Görüntüsü
Tanım: T: V à W bir lineer dönüşüm olsun.
ImT ={w W | T(v) = w her v Є V} kümesine T’nin görüntü kümesi denir...
KerT ={v V | T(v) = 0w} kümesine de T’nin çekirdeği denir.
Teorem: KerT’nin V’nin bir altuzayı olduğunu gösteriniz...
T(0) = 0 è 0 eleman Kert ≠ 0 dır.
v1, v2 KerT ve c F için cv1 + v2 KerT
v1, v2 KerT è T(v1) = 0 ve T(v2) = 0
T(cv1 + v2) = cT(v1) + T(v2) = c.0 + 0 = 0
è cv1 + v2 KerT
Teorem: V sonlu boyutlu bir vektör uzayı ve T: V à U lineer dönüşüm olsun. O zaman
dimV = dim (KerT) + dim (ImT)
boyV = boy (KerT) + boy (ImT)
Örnek: T: IR3 à IR [x]
(a,b,c) à (a - b) + (b - c) x + (c – a) x2
Buna göre KerT ve ImT’nin bir baz ve boyutunu bulunuz.
KerT = { (a,b,c) | T (a,b,c) = 0 + 0x + 0x2 = 0 )
T(a,b,c) = (a - b) + (b - c) x + (c – a) x2 = (0 + 0x + 0x2)
a-b = 0 (1) , b – c = 0 (2) , c – a = 0 (3)
(1) ve (3) ü toplayalım. c – b = 0 (4) , a – b = 0 (5) , b – c = 0 (6)
(5) ve (6) yı toplayalım. a – b = 0 , b – c = 0 , 0 = 0
dim KerT = 3 bilinmeyen – 2 denklem = 1
c = 1 olsun è a = 1 , b = 1 è ßKerT = { (1,1,1) }
dimV = dim KerT + dim ImT
3 = 1 + 2
è dim ImT = 2
KerT = { (a,b,c) Є IR3 | T(a,b,c) = 0 } = { (a,a,a) | a Є IR} = { (x,y,z) | x=y=z }
Şimdi ImT için dim ImT = 2 bulmuştuk.
E IR3 = {e1 , e2 , e3} gererse T(e1), T(e2), T(e3) ImT’yi gerer.
T(1,0,0) = 1 + 0x + (-1)x2
T(0,1,0) = -1 + 1x + 0x2
T(0,0,1) = 0 + (-1)x + 1x2
1 0 -1 1 0 -1 1 0 -1
-1 1 0 è 0 1 -1 è 0 1 -1
0 -1 1 0 -1 1 0 0 0
è Sıfırdan farklı satır sayısı dim ImT = 2
ßImT = { a1 = 1 + 0x - x2 , a2 = 0 + x - x2 }
Her p(x) ImT = { T(v) | v IR3 }
(u0 + u1x + u2x2) , u0 = a – b, u1 = b – c, u2 = c – a
1 0 0 u0 1 -1 0 u0 1 -1 0 u0
0 1 -1 u1 è 0 1 -1 u1 è 0 1 -1 u1
-1 0 1 u2 0 -1 1 u0 + u2 0 0 0 u0+u1+u2
è u0+u1+u2 = 0 ImT = { (u0 + u1x + u2x2) | u0+u1+u2 = 0 , u0, u1, u2 IR) }
Tersinir Lineer Dönüşümler
Örnek: T: IR3 à IR3
(x,y,z) à (2x , x – y , x + y + z) dönüşümünün tersini olup olmadığını araştırınız. Tersinir ise T-1 = ?
T’nin tersinir olabilmesi için 1-1 ve örten olması gerekir.
T, 1-1 ise KerT = {0} olmalı.
KerT = { (x,y,z) Є IR3 | T(x,y,z) = (0,0,0) }
è T(x,y,z) = (2x, x-y, x+y+z) = (0,0,0)
2x=0 x = 0
x – y = 0 y = 0 è v = (x,y,z) = (0,0,0) è T , 1-1‘dir.
x + y + z = 0 z = 0 KerT = (0IR3 )
dim IR3 = dim ImT + dim KerT è 3 = 3 + 0 è dim ImT = 3
ImT ≤ IR3 (3 ≤ 3) è ImT= IR3 è T(IR3) = IR3 è örten
è T tersinir...
T(x,y,z) = (a,b,c) olsun. T-1 (a,b,c) = T-1 ( T (x,y,z) )
(2x , x – y , x + y + z) = (a,b,c) T-1 (a,b,c) = (x,y,z)
è x = a/2 , y = a/2 – b , z = c – a + b T-1 (a,b,c) = (a/2 , a/2 – b , c – a + b)
Dual Uzay
Tanım: V(F) ve F(F) iki vektör uzayı olsun. V à F uzayına bütün lineer dönüşümlerin kümesi F üzerinde bir vektör uzayıdır. Bu uzaya V’nin dual uzayı denir. Ve genelde V* ile gösterilir...
Bu uzayın elemanlarına V’de lineer formlar ya da lineer fonksiyoneller denir.
Tanım: V(F) < ∞ bir vektör uzayı, ß = {v1 , v2 , .... , vn } V’nin bir bazı olsun. O zaman V* dual uzay V ile aynı boyuttadır.
Böylece ß* = { v1*, v2*, .... , vn*} = {f1 , f2 , ... , fn} bazı vardır. ß* bazına ß’nin dual bazı denir.
Herhangi bir f V* lineer formu;
f = f(v1) v1* + .... + f(vn) vn* ile
ve herbir v V vektörü;
V = V1* (V) V1 + ... + Vn* (V) Vn şeklinde ifade edilebilir...
Örnek: V = (IR3:IR) vektör uzayıının bir bazı ß = { v1 = (1,-1,3) , v2 = (0,1,-1) , v3 = (0,3,-2) } olsun.
ß bazına dual olan ß* dual bazını bulunuz...
ß* = {f1 , f2 , f3}
fi : IR3 à IR
(x,y,z) à a1x + a2y + a3z
f1 = a1x + a2y + a3z olsun...
f1 (v1) = 1 è f1 (1,-1,3) = a1 - a2 + 3a3 = 1
f1 (v2) = 0 è f1 (0,1,-1) = a2 - a3 = 0
f1 (v3) = 0 è f1 (0,3,-2) = 3a2 - 2a3 = 0
1 -1 3 1 1 -1 3 1
0 1 -1 0 è 0 1 -1 0 è a3 = 0 , a2= 0 , a1= 1
0 3 -2 0 0 0 1 0
è f1 (x,y,z) = x
f2 = b1x + b2y + b3z olsun...
f2 (v1) = 0 è f2 (1,-1,3) = b1 - b2 + 3b3 = 1
f2 (v2) = 1 è f2 (0,1,-1) = b2 - b3 = 0
f2 (v3) = 0 è f2 (0,3,-2) = 3b2 – 2b3 = 0
1 -1 3 0 1 -1 3 0
0 1 -1 1 è 0 1 -1 1 è b3 = -3 , b2= -2 , b1= 7
0 3 -2 0 0 0 1 -3
è f2 (x,y,z) = 7x – 2y – 3z
f3 = c1x + c2y + c3z olsun...
f3 (v1) = 0 è f3 (1,-1,3) = c1 - c2 + 3c3 = 0
f3 (v2) = 0 è f3 (0,1,-1) = c2 - c3 = 0
f3 (v3) = 1 è f3 (0,3,-2) = 3c2 – 2c3 = 1
1 -1 3 0 1 -1 3 0
0 1 -1 0 è 0 1 -1 0 è c3 = 1 , c2= 1 , c1= -2
0 3 -2 1 0 0 1 1
è f3 (x,y,z) = - 2x + y + z
è ß* = {f1 , f2 , f3} = { x , 7x – 2y – 3z , - 2x + y + z }
Örnek: V: (IR3:IR) vektör uzayının dual uzay V*ın
ß*= f1(x,y,z) = x + y + z bazının duali olduğu V’nin ß = {v1, v2, v3} bulunuz...
f2(x,y,z) = y - z
f2(x,y,z) = z
v1 = (x1, y1, z1)
f1 (v1) = x1 + y1 + z1 = 1 z1 = 0 , y1 = 0 , x1 = 1 è v1 = (1,0,0)
f2 (v1) = y1 - z1 = 0
f3 (v1) = z1 = 0
v2 = (x2, y2, z2)
f1 (v2) = x2 + y2 + z2 = 0 z2 = 0 , y2 = 1 , x2 = -1 è v2 = (-1,1,0)
f2 (v2) = y2 – z2 = 1
f3 (v2) = z2 = 0
v3 = (x3, y3, z3)
f1 (v2) = x3 + y3 + z3 = 0 z3 = 1 , y3 = 1 , x3 = -2 è v3 = (-2,1,1)
f2 (v2) = y3 – z3 = 0
f3 (v2) = z3 = 1
è ß = {v1, v2, v3} = { (1,0,0) , (-1,1,0) , (-2,1,1) }
Lineer Dönüşümlerin Matris Gösterilimi
Tanım: V(F) < ∞ ve W(F) < ∞ vektör uzayları V’nin bir bazı B = {V1, ..., Vn} ve W’nin bir bazı
C = { W1, ..., Wn } olsun.
Her bir T: V à W lineer dönüşümü için ve her v V için
[T(v)]c = A [V]B olacak şekilde bir tek A matrisi vardır. Bu A matrisine T’nin B ve C baz çiftine göre matrisi denir ve
[B]BC = C[T]B ile gösterilir...
Örnek: T: IR3 à IR3
T(x,y,z) = (x, 0, y-z) ile tanımlansın. (IR3 : IR) vektör uzayının E standart ve f : { f1 = (1,1,0) , f2 = (0,1,0) , f3 = (0,-1,1) bazları verildiğine göre, [T]FE matrisini bulunuz...
T (f1) = T (1,1,0) = (1,0,1) = 1e1 + 0e2 + 1e3
T (f2) = T (0,1,0) = (0,0,1) = 0e1 + 0e2 + 1e3
T (f3) = T (0,-1,1) = (0,0,-2) = 0e1 + 0e2 + (-2)e3
[T]FE = 1 0 1 T 1 0 0
0 0 1 = 0 0 0
0 0 -2 1 1 -2
