ÜNLÜ KURAMLAR
Fermat'nin Son Teoremi -- Riemann Hipotezi -- Süreklilik Hipotezi -- P=NP -- Goldbach Sanisi -- Gödel'in Yetersizlik Teoremi -- Poincaré Sanisi -- Cantor'un Diagonal Yöntemi -- Pisagor Teoremi -- Merkezi Limit Teoremi -- Hesabin Temel Teoremi -- Ikiz Asallar Sanisi -- Cebirin Temel Teoremi -- Aritmetigin Temel Teoremi -- Dört Renk Teoremi -- Zorn'un Lemmasi
1.Fermat'nin Son Teoremi
Fransiz matematikçi Pierre de Fermat'nin 17. yüzyilda öne sürdügü fakat kaniti ancak 1994 yilinda Ingiliz matematikçi Andrew Wiles tarafindan verilen teoremdir.
Ifadesinin ortaokul matematik bilgileriyle anlasilacak kadar yalin olmasina karsilik öne sürülmesiyle kanitlanmasi arasinda geçen çok uzun sürede pek çok ünlü matematikçi tarafindan üzerinde ugrasilip da kanitlanamamis olmasiyla matematik tarihinde öne çikmistir.
Kisaca, eger n ikiden büyük bir tamsayiysa, ve x, y, z sayilari pozitif tamsayilar ise 
ifadesinin saglanamayacagini ifade eder. Ifadenin n=1 ve n=2 durumlarinda kolayca saglanabilecegini görmek zor degildir. Biraz açmak gerekirse, n=2 durumu ünlü Pisagor Teoremi ile yakindan iliskili olup x=3, y=4, z=5 veya x=5, y=12, z=13 tamsayi üçlüleriyle kolayca saglanir.
Bu saninin (artik teorem demek gerekiyor elbette) kaniti için pek çok matematikçi ugrasmis ancak basarisiz olmuslardir. Ancak yakin tarihlere kadar çok büyük n degerleri için bu saninin dogrulanmasina devam edilmistir. Bu tür kismi ilerlemelere yönelik çabalar, hiç beklenmedik bir zamanda Ingiliz matematikçi Andrew Wiles'in bir kanit buldugunu duyurmasiyla son bulmustur. Ne var ki kisa sürede Andrew Wiles'in kanitinda bir hata bulunmus ve Andrew Wiles uzun ve yorucu bir çabanin sonunda 1994 yilinda uzmanlarca dogrulugu kabul gören bir kanit vermeyi basarmistir. Aslinda Wiles'in kaniti Fermat'nin son teoreminden daha güçlü bir ifadenin, Simura-Taniyama Konjektürü'nün de dogrulugunu göstermistir. Söz konusu kanit Sayilar Teorisi'nin çok geliskin tekniklerini kullanir.
2.Riemann Hipotezi
(Riemann zeta hipotezi olarak da bilinmektedir), matematik alaninda ilk kez 1859 yilinda Bernhard Riemann tarafindan formülize edilmis çözülememis problemlerden biridir.
Bazi sayilarin kendilerinden küçük sayilarin çarpimi (örn. 2, 3, 5, 7, ...) cinsinden yazilamamak gibi bir özelligi vardir. Bu tür sayilara Asal sayilar denir. Asal sayilar, hem matematik hem de uygulama alanlarinda çok önemli rol oynar. Asal sayilarin tüm dogal sayilar içinde dagilimi herhangi bir örüntüyü takip etmemektedir ancak Alman matematikçi Bernhard Riemann, Asal sayilarin sikliginin;
s ≠ 1 olmak kosuluyla tüm Kompleks sayilar için
ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + ... 
biçiminde belirtilen ve Riemann Zeta Fonksiyonu olarak bilinen fonksiyonun davranisina çok bagli oldugunu gözlemledi. Riemann hipotezinin iddiasina göre ζ(s) = 0 denkleminin tüm çözümleri düz bir çizgi üzerinde yer almaktadir. Yani bu denkleminin tüm komplex çözümlerinin reel kisimlarinin 1/2 oldugu tahmin edilmektedir. Bu iddia ilk 1.500.000.000 çözüm için test edilmistir. Bu iddianin her çözüm için dogru oldugunun ispatlanabilmesi halinde asal sayilarin dagilimi ile ilgili çok önemli bilgiler edinmek mümkün olacaktir.
3.Goldbach hipotezi
Sayilar teorisindeki en eski Matematik'te çözümsüz problemlerden biridir.
Sani: Goldbach'in orijinal sanisi (üçül varsayim) Euler'e 7 Haziran 1742'de yazdigi mektupta söyle ifade ediliyor:
...En azindan 2'den büyük her sayi üç asal sayinin toplamidir...
Goldbach burada 1 sayisini da asal kabul etmektedir. (Bu konvansiyon artik terkedilmistir.) (1 sayisi niçin asal degildir?: Çünkü bir asal sayi baska bir asal sayiyi asla tam bölmez. Oysa 1 sayisi diger asallari datam böler.)
Kuvvetli ikil varsayim, 3'ten büyük her çift dogal sayinin iki asal sayinin toplami olarak ifade edilebilecegini öne sürer. Faber and Faber adli yayin sirketi bu saninin dogru oldugunu 20 Mart 2000 ve 20 Mart 2002 arasindaki 2 yillik sürede kanitlayabilecek ilk kisiye 1.000.000 Amerikan dolari ödül vaat etmistir, fakat sani halen ispatsiz oldugu üzere bu ödülü de kazanan olmamistir.
Ikil sani söyledir:
ve 
için olacak sekilde 
ve 
asal sayilari vardir. (
olabilir)
Her 
bir Goldbach bölüntüsü olarak adlandirilir.
Daha zayif olan ikinci sani sadece 8'den büyük olan her tek dogal sayinin en az 3 asal sayinin toplami oldugudur. Erdös ve Moser ve 'nin asal olma kosulunu kaldirarak bu saninin daha genel anlamda dogru olup olmadigini arastirmislardir.
4.Cantor'un Kösegen Yöntemi
Georg Cantor'un dogal sayilar ile reel sayilarin birebir eslemesinin yapilamayacagini göstermek için gelistirdigi yöntem. Böyle bir eslemenin varligi sonsuz elemanli kümelerin büyüklüklerinin karsilastirilmasi kavraminin gelisimi açisindan son derece önemlidir. Verilen bir A kümesinin en az B kümesi kadar büyük olmasi B'den A'ya bir birebir fonksiyonun var olmasi seklinde tanimlanir (
yazilir). Böylelikle B'nin bir kopyasinin A'nin içersinde bulunabiliyor olmasi saglanir. Eger ayni sekilde B'den de A'ya bir birebir fonksiyon varsa o zaman bu iki küme esit büyüklükte denir (
yazilir).
• Örnek olarak Çift Tam Sayilar Kümesi'nin (
) ile Tam Sayilar Kümesi 
düsünülebilir. 
'nin elemanlari 
'nin içersinde kendi kendilerine gönderilir.
Ispat : Reel sayilarin sonlu veya sonsuz uzunlukta ondalik sayilar olarak yazilabilecegi bilinir. Diyelim ki Cantor'un iddiasi yanlis ve de reel sayilarla dogal sayilar birebir eslenebiliyor. O zaman sadece 0 la 1 arasindaki reel sayilarla (bütün) dogal sayilari birebir eslemek de mümkündür. Böyle bir eslemeyi alalim ve 0 la 1 arasindaki reel sayilari verilen eslemeye göre siralayarak bir liste elde edelim.
Simdi 0 la 1 arasinda öyle bir reel sayi kurgulayacagiz ki bu sayinin bu listede yer almasi mümkün olmayacak. Bu sayiya C adini verelim ve onu su kurala göre olusturalim: birinci sayinin ilk ondalik basamagina bakalim ve buradaki rakamdan farkli herhangi bir rakami seçip C sayisinin ilk basamagi olarak yazalim, ayni sekilde C'nin ikinci, üçüncü,... basamaklarini da olusturalim. Mesela eger 0 la 1 arasindaki reel sayilar asagidaki gibi siralanmissa:
1) 0,13567.......
2) 0,25678.......
3) 0,00212.......
4) 0,14221.......
.
.
.
C sayisinin ilk basamaginin 1'den farkli, 2. basamaginin 5'ten farkli, 3. basamaginin 2'den farkli, 4. basamaginin gene 2'den farkli birer rakam olarak seçeriz.
Bu noktada fark etmemiz gereken sey, C'nin kendisi bir reel sayi oldugu halde bu listede yer alan her sayidan en az bir ondalik basamakta (daha dogrusu o sayi listemizde kaçinci sirada yer aliyorsa o basamakta) farkli oldugu ve dolayisiyla bu listede yer alamayacagi. Demek ki varsaydigimiz birebir esleme mümkün degil ve aslinda reel sayilar kümesindeki eleman sayisi dogal sayilar kümesindeki eleman sayisindan daha fazla.
5.Pisagor teoremi
(Pisagor teoreminin görsel açiklamasi)
Pisagor teoremine göre bir diküçgende dik kenarlarin karelerinin toplamlari hipotenüsün karesine esittir.Bunun ispati suna dayanmaktadir:
c2 = a2 + b2 c uzunlugu hipotenüstür. a ve b uzunluklari ise dik kenarlardir. Her kenardan birer kare olusturulur. bu karelerin alanlari, kare alan formülüne dayali olarak a2,b2,c2 seklinde siralanir. Böylece üç karenin köselerinin birlesiminden olusan bir dik üçgen olusturulur. Olusan üçgenin dik kösesinden hipotenüsün olusturdugu karenin, hipotenüse paralel olan kenara indirilen dikme ile üçgen içerisinde öklid bagintisi kurulur. (öklid bagintisi benzerlikten ispatlanabilmektedir.)
Öklide göre;
a2 = p(p+q)
yani, dik kenarlardan birinin karesi, dik açidan hipotenüse indirilen dikmenin ayirdigi parçalardan kendisine komsu olan tarafin uzunlugu ile hipotenüsün tamaminin çarpimina esittir. Bu durumda
a2 = p.c
olacaktir. Yani a kenarina ait karenin alani, hipotenüse ait alanin dik açidan indirilen dikmeyle ikiye ayirdigi alanlardan kendisine komsu olan alana esit olacaktir. Bu durumu diger kenar için de düsünürüz.
a2 = p.(p + q)b2 = q.(p + q)
p + q = c
a2 = p.c,b2 = q.c olacaktir. Bunu takiben,
a2 + b2 = p.c + q.c
a2 + b2 = c.(p + q)
p + q = c
a2 + b2 = c.c
a2 + b2 = c2
olacaktir. Matematikte, Pisagor Teoremi, Öklid geometrisinde bir dik üçgenin 3 kenari için bir bagintidir. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem sonradan IÖ 6. YY'da Yunan filozof ve matematikçi Pisagor'a atfen isimlendirilmis ise de, Hindu, Yunan, Çinli ve Babilli matematikçiler teoremin unsurlarini, o yasamadan önce bilmekteydiler.Pisagor teoreminin bilinen ilk ispati Öklid'in Elementler eserinde bulunabilir.
Teoremin tersi ;
Pisagor teoreminin tersi de dogrudur. Yani, Öklid geometrisinde, c2 = a2 + b2
6.Ikiz Asallar Sanisi
Aralarindaki fark 2 olan asal sayilara ikiz asal sayilar denir. ( örnegin 3 ve 5 , 5 ve 7 , 11 ve 13 .. ikiz asallardir. ) (2,3) çifti hariç iki asal sayinin arasindaki fark da zaten en az 2 olabilir.
Ikiz asallarin sonsuz tane olmasina iliskin soru , sayilar kuraminin yilladir çözülememis en büyük problemlerinden birisidir ve "ikiz asallar sanisi ( varsayimi,kestirimi) olarak adlandirilir. "Hardy-Littlewood sanisi" ikiz asallarin dagilimi üzerine "asal sayilar teoremi" ne benzer bir varsayimda bulunur.
Viggo Brun , ünlü " eleme metoduyla" bir x sayisindan küçük ikiz asal sayilarin sayisinin , x/(log)2 den küçük oldugunu göstermistir. Bu sonuç da bütün ikiz asal sayi çiftler toplaminin yakinsak oldugunu göstermektedir (bakiniz Brun sabiti).Bu tüm asal sayi çiftlerinin toplaminin iraksadigina terstir (p ve p' asal sayilar ve k bir dogal sayi olmak üzere p-p'=2k , bu genellemeden k=1 için ikiz asallar varsayimina gidilir ; bahsi geçen tüm asal sayi çiftlerin toplami k degisken olmak üzere p ve p' lerin toplamidir). Brun ayrica her çift sayinin , en fazla 9 tane asal çarpani olan iki tane sayinin farki olarak sonsuz biçimde ifade edilebilecegini göstermistir. Chen Jingrun'un ünlü teoremi göstermektedir ki herhangi bir m çift sayisi için m ile aralarinda en fazla 2 tane asal çarpani olan bir sayi kadar fark olan asal sayilardan sonsuz tane vardir.
3 ten büyük her ikiz asal sayi çifti ,bazi n dogal sayilari için , ( 6n-1 , 6n +1 )seklinde ifade edilir. Öyleki n , 1 'e esit degildir ve 0,2,3,5,7 veya 8 ile sonlanmak zorundadır.m ve m+2 sayi çifti ancak ve ancak
durumunda bir ikiz asal sayi çiftidir.
2005 yilina gelindiginde bilinen en büyük ikiz asal sayi çifti 16869987339975 • 2171960 ± 1 dir. Macar Zoltán Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, Janos Kasza ve Antal Járai tarafindan 2005 yilinda bulunmus olup 51779 haneli sayilardir.
4.35 • 1015 e degin yapilan tüm asal sayi çiflerin deneysel analizi göstermektedir ki x den az çift sayisi x•f(x)/(log x)2 dir. Burada f(x) küçük degerli x ler için yaklasik 1.7 dir ve x sonsuza giderken yaklasik 1.3 e kadar azalir. f(x) 'in limit degeri "ikiz asal sabiti" ne esit oldugu varsayilmaktadir.
Bu varsayim ikiz asallar sanisini gerektirmektedir ki hâlâ çözümsüzdür.
Ilk 35 ikiz asal çifti
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)
7. Cebirin Temel Teoremi
seklindeki karmasik katsayili bir polinomunun kökleri, p(x) polinomu içersinde x bilinmeyeni yerine kondugunda 0 sonucu veren degerlerdir. Cebirin Temel Teoremi sabit olmayan (yani derecesi en az bir olan) kompleks katsayili her p(x) polinomu için en az bir kompleks kök oldugunu ifade eder.
8.Gödel'in Eksiklik Teoremi
Gödel'in çagdasi olan ünlü matematikçi Hilbert, matematikteki tüm ispatlarin, belli bir yöntemle, yani aksiyomatik bir sistem vasitasiyla, elde edilebilecegini düsünüyordu ve bu dogrultuda çalismalarina basladi. Temel aritmetikteki tüm dogrulari, aksiyomlarindan türetebilirse, bu sayede matematikteki tüm dogrulari da bu aksiyomlardan elde ede bilecekti.
Gödel bunun olanaksizligini gösterdi. Bunu kisaca su sekilde yapti: Bu önerme ispatlanamaz ifadesini (G) aritmetik sisteminde formülize etti. Ayni sekilde G ifadenin degilini (Bu önerme ispatlanabilir) de formülize etti. Daha sonra, G ifadesinin aritmetik olarak dogrulugu hesaplanabilirse, G ifadesinin degilinin de dogrulugunun hesaplanabilecegini gösterdi. Ve Gödel buradan su iki sonuca varmistir:
1. Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarli (consistent) ise eksiksiz (complete) degildir.
2. Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarliligini sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve islemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün degildir.
Isin ilginç tarafi, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiyom olarak yerlestirilse bile, yeni bir Gödel cümlesi çikartilabilir. Yani ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim, böyle bir sistemde dogrulugu ya da yanlisligi ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi bulunacaktir.
9.Dört Renk Teoremi
Sonlu sayida bölgeden olusan bir harita, birbirine sonsuz sayida nokta boyunca komsu olan iki bölgenin renkleri birbirinden farkli olmak üzere, boyanacaksa bu islem için dört rengin yeterli olacagi bir strateji vardir.
Bu teoremin dogrudan uygulamalarindan birisi harita boyanmasidir; eger her ülkenin tek bölgeden olustugu varsayilirsa bir siyasi haritanin tüm ülkeleri, komsu ülkeler ayni renge boyanmadan dört renge boyanabilir. Ancak bu uygulamadaki varsayim, dünya haritasi için uygun olmayip ABD ve Azerbaycan gibi birden fazla bölgeden olusan ülkeler bulunmaktadir.
Bu konjektür (ispatsiz, fakat dogrulugu tahmin edilen sani) 1852'de Augustus De Morgan'in bir ögrencisi olan Francis Guthrie tarafindan ileri sürüldü; fakat ancak 1976'da Appel ve Haken tarafindan bilgisayarla kanitlandi. Matematik tarihinde bu bir bilgisayarin ispatladigi ilk teoremdir
Dört Renk Teoremi'nin bir örnek
10. Hesabin temel teoremi
Kabaca türev almakla integral alma islemlerinin birbirinin tersi oldugunu ifade eden teoremdir. En basit sekliyle
formülüyle ifade edilebilir. Baska bir deyisle türev ve integral islemleri sirasiyla 
ve 
olarak da gösterilebilir ve 
sarti bu teoremi ifade eder. Burada c herhangi bir sabit sayidir ve integral alma islemini gösteren 
ifadesini, eksenlerini t ve y harfleriyle gösterdigimiz 2 boyutlu kartezyen uzayda, t = c, t = x dogrulari ve y = f(t) egrisiyle t-ekseni arasinda kalan bölgenin alanini hesaplama islemi olarak düsünmemiz gerekir. Kolaylik olsun diye f(t) 'nin negatif degerler almadigini varsaydigimiza dikkat etmek gerekir.
11.P ile NP arasindaki iliski
P harfi "polynomial", NP harfleri ise "non-deterministic polynomial" ifadelerini temsil eder, türkçe karsiliklari "polinom" ve "belirleyici olmayan polinom"dur. "P esittir NP?" ise Hesaplama Teorisi'nin en temel ve meshur problemidir.
Polinomsal zamanda çözülen problemler
Hesaplama teorisinde, bazi tip problemlerin çözümü için en etkili algoritmalarin çalisma süresinin girilen verinin büyüklügüne bir polinom cinsinden bagli oldugu bilinmektedir (buna polinomsal zamanda çalisan algoritma adi verilir), bu tür problemler P kategorisindeki problemlerdir. Mesela verilen basamakli bir sayinin asal olup olmadigini kontrol etmek için çalisma süresi mertebesinde bir polinomla hesaplanabilen bir algoritma vardir. Dolayisiyla verilen bir sayinin asal olup olmadiginin arastirilmasi P kategorisinde bir problemdir.
Polinomsal zamanda çözülemeyen problemler
Buna karsilik bir diger gurup problem vardir ki bunlar için sorulan soruya girilen verinin büyüklügüne polinom mertebesinde bagimli bir sürede cevap verecek bir algoritma bilinmemektedir. Fakat bu tür bazi problemler için eger bir sekilde cevabi tahmin edebiliyorsak, tahminimizin dogrulugunu sinamak için veri büyüklügüne polinom mertebesinde bagimli sürelerde çalisacak algoritmalar vardir. Bu tür problemler, yani bir tahminin dogrulugunun kontrolü için çalisma süresi verinin büyüklügüne polinom cinsinden bagimli bir algoritma olan problemler de NP kategorisini olustururlar. Örnek olarak verilen basamakli bir sayinin asal çarpanlarinin neler oldugu sorusunu düsünebiliriz. Bu sorunun cevabi için bilinen en iyi algoritmanin çalisma süresi 
sayisina bir polinom cinsinden degil de eksponansiyel fonksiyonlar cinsinden (
misali) bagimlidir (buna üstel zamanda çalisan algoritma denir), fakat bu problem için eger bir sekilde cevabi tahmin edebiliyorsak tahminimizin dogrulugunu sinamak için sayisina polinom mertebesinde bagimli bir sürede çalisacak bir algoritma mevcuttur. Dolayisiyla verilen bir n basamakli sayinin asal çarpanlarinin neler oldugu sorusu NP kategorisindedir.
P ve NP arasindaki bag
Bu iki kategoriden NP'nin P'yi içerdigini görmek kolaydir. Eger bir sorunun cevabini verinin büyüklügüne polinom mertebesinde bagimli sürede çalisacak bir algoritmayla bulabiliyorsak, bu soruya cevap olarak üretilmis bir tahminin dogrulugunu da verinin büyüklügüne polinom mertebesinde bagimli sürede çalisacak bir algoritmayla kontrol edebiliriz. Bunun için verilen sorunun cevabini verecek algoritmayi çalistirip, onun verdigi cevabi kendi tahminimizle karsilastirmak yeterlidir. "P=NP?" problemi bunun tersinin de dogru olup olmadigini sorar. Yani NP kategorisinde olup da P kategorisinde olmayan problemler var midir? Veya diger bir dille asal çarpanlarin bulunmasi için polinom mertebesinde bir sürede çalisacak bir algoritma gerçekten yok mu yoksa var da biz mi bulamiyoruz? Bu alanin uzmanlarinin çogunun görüsü bu tür algoritmalarin gerçekten de var olmadiklari için bulunamadigi (yani P nin NP'ye esit olmadigi) seklinde ancak bu soruya kesin bir cevap verilebilmesi simdilik çok zor gözüküyor
12. Aritmetigin Temel Teoremi
Her dogal sayinin sonlu sayida asal sayinin kuvvetlerinin çarpimi olarak yazilabilecegini ifade eden teorem. Ispatini ilk olarak Öklid yapmistir.Bu teorem'in ispati, teoremin gerçek olmadigini varsayip bunun bir çeliskiye yol açacagini göstererek yapilmistir. n, bu teorimi çürütecek olan en küçük dogal sayi olsun. Asal olmadigina göre, n=ab seklinde yazilabilir ve a ve b n ile 1 arasinda birer dogal sayi'dir. n, bu teorimi çürütecek en küçük sayi oldugundan, a ve b birer asal sayinin çarpimi olarak yazilabilir. Ancak bu durumda, n de asal sayilarin çarpimi olabilir, ve bu yüzden ilk varsayim gerçek olamaz. Bu 'in var olamayacagini gösterir ve teorimin ispatidir.
