zeka
 
  ANASAYFA
  PRO-ZEKALAR
  PEYGAMBER EFENDİMİZİN HAYATI
  Ziyaretçi defteri
  GAZETELER 891
  DİL VE ANLATIM
  UYDU
  ANKETLER
  bizeözel
  KÜÇÜK GOOGLE
  top
  ÖNEMLİ KİŞİLERİN HAYATLARI
  MATEMATİK DERSİ
  => BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMER
  => ÇARPANLARA AYIRMA
  => MODULER ARİTMETİK
  => MUTLAK DEĞER
  Felsefe
  İletişim
  GAZETELER
  Galeri
  Mutlu Olmanın Yolları
  ALMANCA
  ZEKANIZI ÖLÇELİM
  MESLEKLER
MUTLAK DEĞER

              MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLLERİ

                                     VE

                              İŞLEVLERİ

 

     Tanım:Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x  ile gösterilir.

      x , R nin elemanıdır ve

       x ={x, x  > 0 ise

            {-x,x < 0 ise

şeklinde tanımlanır.

       f(x) ={f(x),f(x) > 0 ise

                {-f(x),f(x)< 0 ise

 1) Örnek: x =-3 için x-5  -  x+2   ifadesinin eşiti kaçtır?

     

      Çözüm:  -3-5 -  -3+2  = 8-1=7

 2) Örnek: a<b<0 olduğuna göre,

       a+b -  a-b   ifadesinin eşiti nedir?

     

      Çözüm:  a+b  -  a-b  = -(a+b)-  -(a-b)  

                                       =-a-b+a-b

                                       =-2b   

 

                              ÖZELLİKLERİ

                                                                                                             

       V a,b elemandır R için

1)       a   > 0 dır

2)      a   =   -a 

3)      -  a  < a <  a

4)       a.b = a  . b 

5)      b= 0 için   a/b   =   a  /  b 

6)       a+b  <   a +  b  (üçgen eşitsizliği)

7)      n elemanıdır Z* olmak üzere  a^  = a ^

8)      a > 0,x elemanıdır R ve x  < a ise -a <x <a

9)      a > 0,x elemanıdır R,  x  > a ise x > a veya x < -a dır.

 


10) IaI-IbI < Ia+bI

  11)I-aI=IaI, Ia-bI=Ib-aI

  12)IaI . IaI = a . a

  13)I f(x) I = a ise f(x )= a veya f(x) = -a

  14)I f(x) I < a ise -a< f(x) < a

  15)I f(x) I > a ise f(x) > a U -f(x) > a

 

  İSPATLAR

  Öz.1)a = 0 ise IaI = I0I = 0

           a > 0 ise IaI = a >0

           a < 0 ise IaI = -a >0 dır.

  O halde IaI > 0 dır.

  Öz.2)a ve -a sayılarının 0 dan uzaklıkları eşit olduğundan IaI=I-aI dır.

  Öz.6)V a elemanıdır R için  -IaI < a < IaI

           V b elemanıdır R için  -IbI < b< IbI

                                             +                

                                              -IaI-IbI< a+b<IaI+IbI

  O halde Ia+bI < IaI+IbI dir.

  Öz.7)V a,b elemanıdır R için Ia.bI=IaI.IbI idi.

           Ia^I=Ia.a.a...aI=IaI.IaI.IaI...IaI=IaI^ dir.

                    (n tane)     ( n tane )

  Öz.3)a sayısı için a<0,a=0,a>0 durumlarından biri vardır.

     a)a < 0 ise IaI = -a dır.

     IaI > 0 olduğundan -IaI < 0 dır.

     -IaI= a <0 < IaI ise -IaI < a < IaI dır.

     b)a=0 ise IaI = I0I = 0 ve -Ia I= 0 olacağından –IaI < a < IaI dır.

     c)a > 0 ise IaI = a ve -IaI < 0 dır.

     -IaI< 0 < IaI = a ise -IaI < a < IaI dır.

               

              MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER

    Soru: I3x-7I = 5 denklemini çözünüz.                                              

    Çözüm:I3x-7I = 5 ise;  3x-7 = 5 veya 3x-7 = -5 olur.

1-     3x-7 = 5            2-  3x-7=-5

   3x = 12                  3x = 2

     x = 4                      x = 2/3

                           Ç={4,2/3}

              

   Soru:Ix-7I = 7-x eşitliğini sağlayan kaç tane doğal sayı vardır?

   Çözüm: Ix-7I = 7-x ise

                 x-7 < 0 ise x < 7olup x doğal sayıları 0,1,2,3,4,5,6,7 dir.

                 O halde 8 tane doğal sayı vardır.

 

   Soru:   5-2x    = 2  denkleminin çözüm kümesi nedir ?

                 3

  

   Çözüm:                        5-2x      = 2

                                           3

 

                       

            5-2x/3=2           veya               5-2x/3= -2

                 5-2x = 6       veya          5-2x = -6     

                    x = -1/2     veya        x = 11/2

                              Ç ={-1/2,11/2}

    Soru:I 4+I2x-3I I = 5 denklemini sağlayan x reel sayılarının toplamı nedir?

    Çözüm:            I 4+I2x-3I I = 5     

              

          

        4+I2x-3I = 5          veya             4+I2x-3I = -5

         I2x-3I = 1             veya          I2x-3I = -9

      2x-3 = 1 veya 2x-3 = -1          Çözüm:O  

       x = 2             x = 1

       

           O halde x+x = 2+1 = 3 olur.

      Uyarı:

         Hiçbir reel sayının mutlak değeri negatif olamayacağından, denklemin çözüm kümesi boş küme  (O) olur.

         BİRİNCİ DERECEDEN MUTLAK DEĞERLİ                    

                            EŞİTSİZLİKLER

      

    Soru: Ix-7I < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

     

    Çözüm: Ix-7I < 3 = -3 < x-7 < 3 = -3+7 < x < 3+7

                                 =4<x<10    Ç={5,6,7,8,9}

    Soru:   2x-3    < 2 eşitsizliğini sağlayan tamsayıları bulunuz.

                  2

 


    Çözüm:  2x-3  < 2 = -2 <2x-3 < 2

                     2                       2      

         

                                  = -4 < 2x-3 < 4

                                  = -4+3 < 2x < 4+3

                                  = -1< 2x < 7

                                  = -1/2 < x < 7/2

                                  Ç={0,1,2,3}

    Soru:I 3x+2 I+9 > 2 eşitsizliğini çözünüz.

    Çözüm:I 3x+2I+9 > 2 = I 3x+2I > -7

    ***Bu eşitsizlik x in her değeri için sağlanır.Bu nedenle; Çözüm kümesi R dir.

   

    Soru: I Ix-5I-2 I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?

    Çözüm:I Ix-5I-2 I < 3 = -3 < Ix-5I -2 < 3

                                        = -1 < Ix-5I < 5

                 Ix-5I >-1 eşitsizliği daima doğrudur.

                 Ix-5I < 5 = -5 < x-5 < 5

                                = 0 < x < 10

      Bu aradaki tamsayılar 1,2,3,4,5,6,7,8,9 olup 9 tamsayı vardır.

             İKİNCİ DERECEDEN MUTLAK DEĞERLİ  

                                 EŞİTSİZLİKLER

   

    Soru: I 2x-7 I < 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?

    Çözüm:I 2x-7 I < 2 =  -2 < 2x-7 < 2

                                   =   -2+7 < 2x < 2+7

                                   =   5 < 2x < 9

                                   =   5/2 < x < 9/2

                 Bu durumda çözüm kümesi {3,4} olur.

    Soru: I 3x+1 I > -8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

    Çözüm:V x elemanıdır R için I 3x+1 I > 0 olduğundan

I 3x+1 I > -8 eşitsizliği daima doğrudur. Buna göre denklemin çözüm kümesi Reel sayılar kümesidir.

 

    Soru: I 3-3x I < 9 eşitsizliğinin R deki çözüm kümesi nedir?

  

    a) 0<x<2   b) -2<x<4   c) -1<x<0   d) 0<x<2   e) 2<x<4

    Çözüm: I 3-3x I<9 = -9 < 3-3x < 9

                                   = -9+3 < 3x < 9+3

                                   = -6 < 3x < 12

                                   = -6/3 < x < 12/3

                                   = -2 < x < 4 ( Cevap B dir.)

     Soru: 1 < Ix-2I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?

     Çözüm: 1 < Ix-2I < 3 = 1 < x-2 < 3

                                        = 1+2 < x < 3+2

                                        = 3 < x < 5

     Eşitsizliği oluşturan tamsayılar = {3,4,5} tir.

 

                MUTLAK DEĞER İLE İLGİLİ KARIŞIK 

                                  ALIŞTIRMALAR     

    

     Soru 1: I 3x-1 I+5 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

     Çözüm: I 3x-1 I+5 = 0 ise I 3x-1 I = -5 olur.

            ***  V a elemanıdır R için IaI > 0 dır.

            Bu nedenle sorunun çözüm kümesi O dir.

     Soru 2:  I Ix-4I -5 I = 10 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz.

     Çözüm:                 I Ix-4I –5 I = 10

 

         Ix-4I-5 =10            veya        Ix-4I-5 = -10

         Ix-4I = 5               veya        Ix-4I = -5

                                                     Ç = {O}

         x-4 = 15 veya x-4 = -15    x = 19 veya x = -14

    Soru 3: I Ix-1I+5 I = 8 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?

      a) -2   b) 0   c) 2   d) 4   e)14

 

    Çözüm:                     I Ix-1I+5 I = 8

 

            I Ix-1I+5 I = 8        veya       I Ix-1I+5 = -8

              Ix-1I = 3               veya       Ix-1I = -13

                                                        Ç = {O}

              x-1 = 3   veya  x-1 = -3

              x = 4     veya    x = -2

              x+x = 4+(-2) = 2  ( Cevap C dir.)

    Soru 4: I Ix-2I-3 I = 7 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?

      a) 2   b) 4   c) 8   d) 10   e) 12

    Çözüm:                     I Ix-2I-3 I = 7

                           

                Ix-2I-3 = 7          veya        Ix-2I-3 = -7

                Ix-2I = 10           veya        Ix-2I = -4

                                                        Ç = {O}

                 x-2 = 10  veya  x-2 = -10

                 x = 12    veya  x = -8

                 x+x = 12-(-8) = 4 ( Cevap B dir.)

    Soru 5: I 7-(3-I-5I) I işleminin sonucu nedir?

      a) 4   b) 5   c) 6   d) 7   e) 9

    Çözüm:

                I 7-(3-I-5I) I = I 7-[3- -(-5)] I

                                     = I 7-[3-5] I

                                     = I 7-(-2) I

                                     = I 7+2 I

                                     = I 9 I = 9

    Soru 6: I Ix-2I-5 I = 1 denklemini sağlayan x tam sayıları nelerdir?

      a) 3,6,-3,-6   b) 4,8,-3,-8   c) 7,9,5   d) 8,-4,6,-2   e) 2,-2

    Çözüm:                     I Ix-2I-5 I

 

 

                 Ix-2I-5 = 1        veya         Ix-2I-5 = -1

                    Ix-2I = 6          veya         Ix-2I = 4

         x-2 = 6 veya x-2 = -6           x-2 = 4 veya x-2 = -4

         x = 8            x = -4             x = 6            x = -2

    Soru 7: Ix+2I < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?

      a) 13   b) 9   c) 8   d) 7   e) 6      (ÖSS 1999)

    Çözüm: 

                 Ix+2I < 4 = -4 < x + 2 <4

                                 = -6 < x < 2     

                Eşitsizliği oluşturan tamsayılar –6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 dir. ( Cevap A dır.)

    Soru 8: IxI < 6 olduğuna göre,x-2y+2 = 0 koşulunu sağlayan kaç tane y tamsayısı vardır?

      a) 7   b) 6   c) 5   d) 4   e) 3       (ÖSS 2000)

    Çözüm:

                 IxI 0 dan küçük olmayacağından IxI 0,1,2,3,4,5,6 olabilir.

            x-2y+2 = 0 koşulunu çift sayılar oluşturur.Bunlar 0,2,4,6 dır.Bu sayılar y yi tamsayı yapar. ( Cevap D dir.)

    Soru 9:

                f(x) =       12              fonksiyonunun en büyük değeri

                           Ix-1I+Ix+3I

nedir?

      a) 2   b) 3   c) 4   d) 5   e) 6

    Çözüm:

              x elemanıdır [-3,1] için f(x) en büyük olur. X = -3 ise,

            

             f(-3) =         12           = 12/4 =3 tür.

                          I-3-1I+I-3+3I

                                                     ( Cevap B dir.)

             

 

 

 

 

 

 

 
 
   
Bugün 23 ziyaretçi (34 klik) kişi burdaydı!
Bu web sitesi ücretsiz olarak Bedava-Sitem.com ile oluşturulmuştur. Siz de kendi web sitenizi kurmak ister misiniz?
Ücretsiz kaydol