MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLLERİ

İŞLEVLERİ

Tanım:Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile gösterilir.

x , R nin elemanıdır ve

x ={x, x > 0 ise

{-x,x < 0 ise

şeklinde tanımlanır.

f(x) ={f(x),f(x) > 0 ise

{-f(x),f(x)< 0 ise

1) Örnek: x =-3 için x-5 - x+2 ifadesinin eşiti kaçtır?

Çözüm: -3-5 - -3+2 = 8-1=7

2) Örnek: a<b<0 olduğuna göre,

a+b - a-b ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm: a+b - a-b = -(a+b)- -(a-b)

=-a-b+a-b

=-2b

ÖZELLİKLERİ

V a,b elemandır R için

1) a > 0 dır

2) a = -a

3) - a < a < a

4) a.b = a . b

5) b= 0 için a/b = a / b

6) a+b < a + b (üçgen eşitsizliği)

7) n elemanıdır Z* olmak üzere a^ = a ^

8) a > 0,x elemanıdır R ve x < a ise -a <x <a

9) a > 0,x elemanıdır R, x > a ise x > a veya x < -a dır.

10) IaI-IbI < Ia+bI

11)I-aI=IaI, Ia-bI=Ib-aI

12)IaI . IaI = a . a

13)I f(x) I = a ise f(x )= a veya f(x) = -a

14)I f(x) I < a ise -a< f(x) < a

15)I f(x) I > a ise f(x) > a U -f(x) > a

İSPATLAR

Öz.1)a = 0 ise IaI = I0I = 0

a > 0 ise IaI = a >0

a < 0 ise IaI = -a >0 dır.

O halde IaI > 0 dır.

Öz.2)a ve -a sayılarının 0 dan uzaklıkları eşit olduğundan IaI=I-aI dır.

Öz.6)V a elemanıdır R için -IaI < a < IaI

V b elemanıdır R için -IbI < b< IbI

-IaI-IbI< a+b<IaI+IbI

O halde Ia+bI < IaI+IbI dir.

Öz.7)V a,b elemanıdır R için Ia.bI=IaI.IbI idi.

Ia^I=Ia.a.a...aI=IaI.IaI.IaI...IaI=IaI^ dir.

(n tane) ( n tane )

Öz.3)a sayısı için a<0,a=0,a>0 durumlarından biri vardır.

a)a < 0 ise IaI = -a dır.

IaI > 0 olduğundan -IaI < 0 dır.

-IaI= a <0 < IaI ise -IaI < a < IaI dır.

b)a=0 ise IaI = I0I = 0 ve -Ia I= 0 olacağından –IaI < a < IaI dır.

c)a > 0 ise IaI = a ve -IaI < 0 dır.

-IaI< 0 < IaI = a ise -IaI < a < IaI dır.

MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER

Soru: I3x-7I = 5 denklemini çözünüz.

Çözüm:I3x-7I = 5 ise; 3x-7 = 5 veya 3x-7 = -5 olur.

1- 3x-7 = 5 2- 3x-7=-5

3x = 12 3x = 2

x = 4 x = 2/3

Ç={4,2/3}

Soru:Ix-7I = 7-x eşitliğini sağlayan kaç tane doğal sayı vardır?

Çözüm: Ix-7I = 7-x ise

x-7 < 0 ise x < 7olup x doğal sayıları 0,1,2,3,4,5,6,7 dir.

O halde 8 tane doğal sayı vardır.

Soru: 5-2x = 2 denkleminin çözüm kümesi nedir ?

Çözüm: 5-2x = 2

5-2x/3=2 veya 5-2x/3= -2

5-2x = 6 veya 5-2x = -6

x = -1/2 veya x = 11/2

Ç ={-1/2,11/2}

Soru:I 4+I2x-3I I = 5 denklemini sağlayan x reel sayılarının toplamı nedir?

Çözüm: I 4+I2x-3I I = 5

4+I2x-3I = 5 veya 4+I2x-3I = -5

I2x-3I = 1 veya I2x-3I = -9

2x-3 = 1 veya 2x-3 = -1 Çözüm:O

x = 2 x = 1

O halde x+x = 2+1 = 3 olur.

Uyarı:

Hiçbir reel sayının mutlak değeri negatif olamayacağından, denklemin çözüm kümesi boş küme (O) olur.

BİRİNCİ DERECEDEN MUTLAK DEĞERLİ

EŞİTSİZLİKLER

Soru: Ix-7I < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm: Ix-7I < 3 = -3 < x-7 < 3 = -3+7 < x < 3+7

=4<x<10 Ç={5,6,7,8,9}

Soru: 2x-3 < 2 eşitsizliğini sağlayan tamsayıları bulunuz.

Çözüm: 2x-3 < 2 = -2 <2x-3 < 2

2 2

= -4 < 2x-3 < 4

= -4+3 < 2x < 4+3

= -1< 2x < 7

= -1/2 < x < 7/2

Ç={0,1,2,3}

Soru:I 3x+2 I+9 > 2 eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:I 3x+2I+9 > 2 = I 3x+2I > -7

***Bu eşitsizlik x in her değeri için sağlanır.Bu nedenle; Çözüm kümesi R dir.

Soru: I Ix-5I-2 I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?

Çözüm:I Ix-5I-2 I < 3 = -3 < Ix-5I -2 < 3

= -1 < Ix-5I < 5

Ix-5I >-1 eşitsizliği daima doğrudur.

Ix-5I < 5 = -5 < x-5 < 5

= 0 < x < 10

Bu aradaki tamsayılar 1,2,3,4,5,6,7,8,9 olup 9 tamsayı vardır.

İKİNCİ DERECEDEN MUTLAK DEĞERLİ

EŞİTSİZLİKLER

Soru: I 2x-7 I < 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?

Çözüm:I 2x-7 I < 2 = -2 < 2x-7 < 2

= -2+7 < 2x < 2+7

= 5 < 2x < 9

= 5/2 < x < 9/2

Bu durumda çözüm kümesi {3,4} olur.

Soru: I 3x+1 I > -8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:V x elemanıdır R için I 3x+1 I > 0 olduğundan

I 3x+1 I > -8 eşitsizliği daima doğrudur. Buna göre denklemin çözüm kümesi Reel sayılar kümesidir.

Soru: I 3-3x I < 9 eşitsizliğinin R deki çözüm kümesi nedir?

a) 0<x<2 b) -2<x<4 c) -1<x<0 d) 0<x<2 e) 2<x<4

Çözüm: I 3-3x I<9 = -9 < 3-3x < 9

= -9+3 < 3x < 9+3

= -6 < 3x < 12

= -6/3 < x < 12/3

= -2 < x < 4 ( Cevap B dir.)

Soru: 1 < Ix-2I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?

Çözüm: 1 < Ix-2I < 3 = 1 < x-2 < 3

= 1+2 < x < 3+2

= 3 < x < 5

Eşitsizliği oluşturan tamsayılar = {3,4,5} tir.

MUTLAK DEĞER İLE İLGİLİ KARIŞIK

ALIŞTIRMALAR

Soru 1: I 3x-1 I+5 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm: I 3x-1 I+5 = 0 ise I 3x-1 I = -5 olur.

*** V a elemanıdır R için IaI > 0 dır.

Bu nedenle sorunun çözüm kümesi O dir.

Soru 2: I Ix-4I -5 I = 10 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz.

Çözüm: I Ix-4I –5 I = 10

Ix-4I-5 =10 veya Ix-4I-5 = -10

Ix-4I = 5 veya Ix-4I = -5

Ç = {O}

x-4 = 15 veya x-4 = -15 x = 19 veya x = -14

Soru 3: I Ix-1I+5 I = 8 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?

a) -2 b) 0 c) 2 d) 4 e)14

Çözüm: I Ix-1I+5 I = 8

I Ix-1I+5 I = 8 veya I Ix-1I+5 = -8

Ix-1I = 3 veya Ix-1I = -13

Ç = {O}

x-1 = 3 veya x-1 = -3

x = 4 veya x = -2

x+x = 4+(-2) = 2 ( Cevap C dir.)

Soru 4: I Ix-2I-3 I = 7 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?

a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12

Çözüm: I Ix-2I-3 I = 7

Ix-2I-3 = 7 veya Ix-2I-3 = -7

Ix-2I = 10 veya Ix-2I = -4

Ç = {O}

x-2 = 10 veya x-2 = -10

x = 12 veya x = -8

x+x = 12-(-8) = 4 ( Cevap B dir.)

Soru 5: I 7-(3-I-5I) I işleminin sonucu nedir?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9

Çözüm:

I 7-(3-I-5I) I = I 7-[3- -(-5)] I

= I 7-[3-5] I

= I 7-(-2) I

= I 7+2 I

= I 9 I = 9

Soru 6: I Ix-2I-5 I = 1 denklemini sağlayan x tam sayıları nelerdir?

a) 3,6,-3,-6 b) 4,8,-3,-8 c) 7,9,5 d) 8,-4,6,-2 e) 2,-2

Çözüm: I Ix-2I-5 I

Ix-2I-5 = 1 veya Ix-2I-5 = -1

Ix-2I = 6 veya Ix-2I = 4

x-2 = 6 veya x-2 = -6 x-2 = 4 veya x-2 = -4

x = 8 x = -4 x = 6 x = -2

Soru 7: Ix+2I < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?

a) 13 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 (ÖSS 1999)

Çözüm:

Ix+2I < 4 = -4 < x + 2 <4

= -6 < x < 2

Eşitsizliği oluşturan tamsayılar –6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 dir. ( Cevap A dır.)

Soru 8: IxI < 6 olduğuna göre,x-2y+2 = 0 koşulunu sağlayan kaç tane y tamsayısı vardır?

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 (ÖSS 2000)

Çözüm:

IxI 0 dan küçük olmayacağından IxI 0,1,2,3,4,5,6 olabilir.

x-2y+2 = 0 koşulunu çift sayılar oluşturur.Bunlar 0,2,4,6 dır.Bu sayılar y yi tamsayı yapar. ( Cevap D dir.)

Soru 9:

f(x) = 12 fonksiyonunun en büyük değeri

Ix-1I+Ix+3I

nedir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Çözüm:

x elemanıdır [-3,1] için f(x) en büyük olur. X = -3 ise,

f(-3) = 12 = 12/4 =3 tür.

I-3-1I+I-3+3I

( Cevap B dir.)