Denklik Kavramı :

β ={(x, y) : m | (x – y)  ; x, y, m Z ve m >1 }

yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığından β bir denklik bağıntısıdır.

Bu durumda,   (x, y) β için x y (mod m) yazılabilir.

 

SONUÇ :

x, y, m Z ve m >1 olmak üzere,

    (mod m) dir.

Örnek :

17 2 (mod 3)     – 5 1 (mod 6)         7 – 13 (mod 4)

 

Örnek :

22 – 2 (mod m)

denkliğini sağlayan kaç tane m değeri vardır?

 

2002 ÖSS

1< a ≤ 10 olmak üzere,

12 – a 0 (mod a)

denkliğini sağlayan kaç tane a tam sayısı vardır?

 

Denklik Sınıfı :

β ={(x, y) : m | (x – y)  ; x, y, m Z ve m >1 } bağıntısında x elemanına β ile bağlı tüm y elemanlarının oluşturduğu kümeye x in denklik sınıfı denir. x  ile gösterilir.

 

Örnek :

β ={(x, y) : 4 | (x – y)  ; x, y, Z }

bağıntısına göre 0 ın denklik sınıfı, bağıntıda bulunan (0,y) ikililerindeki y değerlerinin oluşturduğu kümedir. Yani 4 ile tam bölünen (bölündüğünde 0 kalanını veren) elemanların oluşturduğu kümedir. Bu küme,

 

= { ... -8, -4, 0, 4, 8, ... }  olur. Benzer şekilde,

 = { ... -7, -3, 1, 5, 9, ... }

= { ... -6, -2, 2, 6, 10, ... }

= { ... -5, -1, 3, 7, 11, ... } yazılabilir.

 

Tam sayılarda 4 modülüne göre elde edilen tüm denklik sınıflarının oluşturduğu kümeye kalan sınıflarının kümesi denir

 

 = {  , , , } şeklinde gösterilir.

 

Özellikler

 

Z / m de x, y, a, b  Z olmak üzere

x a (mod m) 

y b (mod m)  ise

 

1)  x  y a  b (mod m)

 

3)  x  .  y a  .  b (mod m) , (bölme yapılamaz)

 

3)  x + k a + k (mod m), k  Z

 

4)  k . x k . a (mod m) , k  Z , (bölme yapılamaz)

 

5)  xⁿ  aⁿ (mod m) , n  N

 

90 ÖYS

5 – x 4 (mod 7)

olduğuna göre x in alabileceği pozitif en küçük iki değerin toplamı kaçtır?

Örnek :

8 – 3x x (mod 12)

denkliğini sağlayan en küçük iki doğal sayının toplamı kaçtır?

 

Örnek :

4x – 4 x – 3 (mod 5)

denkliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı ile en büyük negatif tam sayının toplamı kaçtır?

 

·          a b (mod m) denkliğinde 0 ≤ b < m ise tam sayılarda bölme işlemi yapılabilir (a nın m ile bölümünde kalan b).

 

96 ÖYS

(96)¹⁰ + (97)²  toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

 

2001 ÖSS

x iki basamaklı bir doğal sayı,

x 2 (mod 3) 

x 2 (mod 5)  

olduğuna göre, x in en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır?

 

2000 ÖSS

3⁷³  ün 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

 

98 ÖYS

327 ⁹⁵  sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?

 

93 ÖYS

(1993) ^x 2 (mod 5) denkliğinde en küçük x değeri kaçtır?

 

Örnek :

24²⁴  ün 7 ile bölümünden kalan kaçtır?

 

SONUÇ :

 

·          x ile m aralarında asal sayılar ve m asal sayı olmak üzere x ^{m – 1} 1 (mod m) dir.

 

Örnek :

a pozitif tam sayı ve

8^36a+2 x (mod 13)

olduğuna göre x kaçtır?

 

·          x ile m aralarında asal değilse x in hiçbir kuvveti 1 e denk olmaz (ama yine tekrarlı devam eder.)

 

95 ÖYS

1995¹⁹⁹⁵ in 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

 

Örnek :

2002²⁰⁰⁴  sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?

 

Örnek :

4¹⁹⁹⁸  sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?

 

Örnek :

219²⁰⁰⁴ ün 6 ile bölümünden kalan kaçtır?

 

Örnek :

15⁵ + 17⁵ +19⁵ + 21⁵

toplamının 18 ile bölümünden kalan kaçtır?

 

Örnek :

1! + 2! + 3! + ... + 99!  x (mod 35)

denkliğini sağlayan en küçük x doğal sayı kaçtır?